异想天开

What's the true meaning of light, Could you tell me why

三角形重心

日期:2015-02-26 11:14:39
  
最后更新日期:2016-11-06 16:22:53
主要论述:
1.三角形重点为三条中线交点
2.三角形重点在中线上的位置

正文:
1.为啥三角形的重心是三条中线的交点?
重心就是质量的平衡点。现实中的天枰,质量平衡点就是天枰的正中间位置。那么面呢?一块密度均匀的三角板,重心在什么地方。将该三角板可以分为两部分,有无数种分法。根据三角形一边的中线来划分,划分出来的两部分的面积是一样的,对于均匀的板而已,质量也是一样。但是分为质量相等的两部分,一定是中线么?假设是三角形ABC,如果过顶点A,B,C的话,那么就是顶点对应边的中线。只要两条中线就可以确定重心的位置。 过重心的任意一条线段,都会将三角形分为面积相等的两部分么?开始在按这个结论为正确的思路在论证,后来论证太麻烦了,网上找到了一个反例,比如过三角形重心作一边的平行线,将三角形分成面积为几比几?答案为4:5。那么就不是相等,将三角形面积分为1:1的两部分还有没有其他线段。
现在考虑一个重点,也就是为啥三角形的重心是中线的交点?首先考虑三角形ABC,E,F为边的中点:
alt= 图一

上面三角形和下面的四边形的面积之比为1:3,那么均匀的薄板,面积为3的肯定质量要重些,那么上面三角形和下面四边形的两部分的重心应该在下面四边形里面,即在EF边下方。同理可以得到中线应该在由每条边所围成的中心三角形里面。如下图:
2图二

无限这样作图,最终收缩为只有一点,那么这点就是重心。任意一条中线,都过所有这样的中心三角形的平行边的中点,最后,也会过所需要找的重心。
后面在同事的提醒下,发现一种简单的方法,如下图:
3图三

三角形ABD与三角形ACD,底边相等(D是中点),同时高一样,故面积一样,均匀的薄板而言,重心也在这条线上。两条中线的交点就确定重心了。

2.重心的位置
这里用类似天平的方法确定重心的位置。如图三所示,质量为1的三个质点构成三角形薄板,则质点C和质点B等价质点D,且质点D的质量为2。考虑质点A和质点D质量之比为1:2,则重心G位于AD线段,AG:GD=2:1。

PS:有时候很傻,明明开始就知道了结论,后面还在转圈圈。