异想天开

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泰勒级数-佩亚诺余项

日期:2016-02-02 17:56:08
  
最后更新日期:2017-04-19 11:57:41
中英对照:
Taylor series 泰勒级数
本文为《微积分学教程》第三章阅读笔记,有点背书。
教程先给出f(x)为整数多项式的x=0泰勒级数,然后推广到x=x0的情形。在整数多项式的情形下,p(x)=f(x)。
$$
p(x) = p(x_{0}) + \frac {p'(x - x_{0})} {1!} + \frac {p''(x-x_{0})^2} {2!} + ... + \frac {p^{(n)} (x - x_{0}) ^n} {n!}
$$
对于任意的f(x), 整数形式的多项式只能给出一个近似值。在区间[a,b]有n-1阶导数, 可能是n阶的单向导数, 因为x0可能是b点。这种近似的误差是多少, 研究它是一件非常有意思的事情。对于佩亚诺余项。给出了误差为x-x0的n次幂的无穷小。
数学归纳法证明如下:
令r(x) = f(x) - p(x)。则满足下式:
$$
r(x_{0}) = r'(x_{0}) = r''(x_{0}) = r'''(x_{0}) = ... = r^{(n)}(x_{0}) = 0 .... 式1
$$
当n = 1时, 则满足:
$$
r(x_{0}) = r'(x_{0}) = 0
$$
故:
$$
\lim_{x \to x_{0}} \frac {r(x) - r(x_{0})} {x-x_{0}} = r'(x_{0}) = 0
$$
根据极限定义可得证。
当n>=1时,成立:
$$
r(x) = O((x-x_{0})^n)
$$
当将n替换为n+1时,则:r'(x)还是满足式1。那么:
$$
r'(x) = O((x-x_{0})^n)
$$
此时的:
$$
r(x) = r(x) - r(x_{0}) = r'(c)( x - x_{0})
$$
c为x到x0之间, 故:
$$
O((c-x_{0})^n) < O((x-x_{0})^n)
$$
则:
$$
r(x) = O( (x-x_{0})^{(n+1)} )
$$
泰勒级数, 可以给出函数的近似估算值,同时大致给出了误差的范围内。后面将讨论其他余项,得到精确的误差估计。