异想天开

What's the true meaning of light, Could you tell me why

行列式一

日期:2016-06-17 22:10:12
  
最后更新日期:2017-05-20 16:19:13
这里先不深究行列式的含义。
1. 定义逆序数概念
相邻两数交换,逆序数符号改变。因为交换操作本身影响也就这两个数自己。
交换任意两数,则看两数的距离为偶数,符号改变。若两数距离为奇数,符号也改变。

2.定义行列式
定义从行的角度的行列式。
将行列式的项交换,则下标的逆序数同时改变,故整体符号不变。从而论证,行列式从行的角度和从列的角度,行列式是一样的。从而定义通用的定义。

3.行列式与线性变换的关系
根据行列式的定义,行列式可以对某一行的满足行列式加法,则可以把方阵的某一行看成是其他行的线性变换。则行列式与线性变换有了联系。
行的角度,若某一行全为0,行列式为0,则该行可由其它行线性表示,则为线性相关。
线性相关的情况,则某一行可由其他行表示,那么该行列式由多个具有相同的两行行列式相加,而具有相同两行的行列式为0。先猜想了两行相同的行列式是0,粗略用小方阵验证,mathmatica了验证了。粗略证明如下:
因为行列式的像可以表示为:
矩阵网页示例
考虑这两列相同的行,对于行列式中的项,这两行的相对关系中,总可以找到另外一个项,类似如上图一样,交换顺序,符号为反。所以该行列式为0。若有四个未知数只有三个方程,那么是无解的。可以认为第四个方程的系数全部是0,即可用其他三个方程来表示,那么这时行列式为0了,未知元不可解。可以看出行列式与方程组联系起来了。

4. 伴随矩阵*矩阵 = 行列式*E
这里也可以用方阵含有相同两行,则行列式为0,故伴随矩阵与矩阵的乘积等于行列式乘以单位矩阵。
伴随矩阵与行列式关系推导
上图中的式1 × 式3 可以看成是下面方阵的展开,正好是相同的两行,故行列式为0。
注:从简单的情况,推导到一般的情况