异想天开

What's the true meaning of light, Could you tell me why

惯性张量理解

日期:2016-12-27 20:11:23
  
最后更新日期:2016-12-27 22:37:26
用坐标系A描述时,惯性张量的定义如下:
$$
^AI = \left [ \begin{matrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\
-I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\
-I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz}
\end{matrix} \right]
$$
其中矩阵元素为:
$$
I_{xx} = \int \int \int_{V} (y^2 + z^2) \rho dv \\
I_{yy} = \int \int \int_{V} (x^2 + z^2) \rho dv \\
I_{zz} = \int \int \int_{V} (x^2 + y^2) \rho dv \\
I_{xy} = \int \int \int_{V} xy \rho dv \\
I_{xz} = \int \int \int_{V} xz \rho dv \\
I_{yz} = \int \int \int_{V} yz \rho dv
$$

在描述直线运动时,有牛顿第二定理F=ma, 而在描述刚体转动时, 用惯性张量表达类似质量的概念。惯性张量描述角动量,转动动能等与角速度的关系。
对于旋转的刚体,我们有如下申明:
$$ \gamma 表示旋转刚体某一点的位置矢量 \quad \upsilon表示该点的速度 \quad \omega 表示该点的角速度 $$
刚体的角动量为:
$$ L = \int \gamma \times \upsilon dm \\
= \int \gamma \times (\omega \times \gamma )dm $$

而: $$
\gamma \times (\omega \times \gamma ) = \left | \begin{matrix} i & j & k \\
x & y & z \\
{( \omega \times \gamma )}_{x} & { (\omega \times \gamma )}_{y} & {(\omega \times \gamma )}_{z}
\end{matrix} \right | $$
则角动量的x分量, 将上诉行列式展开取x分量即为:
$$ L_{x} = \int y{( \omega \times \gamma)}_{z} -z{( \omega \times \gamma)}_{y} dm $$
而:
$$ \omega \times \gamma = \left | \begin{matrix} i & j & k \\
\omega_{x} & \omega_{y} & \omega_{z} \\
x & y & z
\end{matrix} \right | $$
则:
$$ L_{x} = \int y(y \omega_{x} - x \omega_{y} ) - z( -z\omega_{x} + x\omega_{z} ) dm \\
= \omega_{x} \int y^2 + z^2 dm - \omega_{y} \int xy dm - \omega_{z} \int xz dm $$
而取角动量的y分量则为:
$$
L_{y} = \int z(\omega \times \gamma)_{x} - x(\omega \times \gamma)_{z} dm \\
= \int z(z \omega_{y} - y \omega_{z}) - x(y\omega_{x} - x\omega_{Y} )dm \\
= -\omega_{x} \int xy dm + \omega_{y} \int z^2 +x^2 dm - \omega_{z} \int yz dm
$$
而取角动量的z分量则为:
$$
L_{z} = \int x( \omega \times \gamma)_{y} - y( \omega \times \gamma)_{x} dm \\
= \int x(x \omega_{z} - z \omega_{x}) - y(z \omega_{y} - y \omega_{z} ) dm \\
= - \omega_{x} \int xz dm - \omega_{y} \int yz dm + \omega_{z} \int x^2 + y^2 dm
$$
从而发现:
$$
L = I \omega
$$
把惯性张量看成是刚体转动质量的性质,这个公式相似直线运动的动量mv。