异想天开

What's the true meaning of light, Could you tell me why

方向余弦矩阵

日期:2017-05-18 20:14:13
  
最后更新日期:2017-05-20 08:36:40
从原始的角度,谈谈对方向余弦的理解,最后再转化为用矩阵工具来表示。若一个基础的世界坐标系定义为A,A有一组基,分布用i,j,k三个向量来表示x,y,z坐标轴。若另外一个坐标系B的x,y,z三个坐标轴在A中的表示为:
$$
B_{x} = B_{11} i + B_{12} j + B_{13} k \\
B_{y} = B_{21} i + B_{22} j + B_{23} k \\
B_{z} = B_{31} i + B_{32} j + B_{33} k \\
$$
对于坐标系B中的一个点P
$$
^{B}P = \left [ \begin{matrix} x \\
y \\
z
\end{matrix} \right]
$$
表示为
$$
^{B}P = \left [ \begin{matrix} x B_{x} \\
y B_{y} \\
z B_{z}
\end{matrix} \right]
$$
将最前面的坐标系B的基表示带入,则可以在坐标系A描述。
$$
\begin{align*}
^{A}P =& x B_{x} + y B_{y} + z B_{z} \\
= & x B_{11} i + x B_{12} j + x B_{13} k + \\
&y B_{21} i + y B_{22} j + y B_{23} k +\\
&z B_{31} i + z B_{32} j + z B_{33} k
\end{align*}
$$
如果用矩阵来表示即:
$$
^{B}P = \left [ \begin{matrix} B_{x} & B_{y} & B_{z}
\end{matrix} \right] \left [ \begin{matrix} x \\
y \\
z
\end{matrix} \right]
$$
上诉可以看出, 若在坐标系B中的点, 只需要左乘如下矩阵即可:
$$
^{A}_{B}R = \left [ \begin{matrix} B_{11} & B_{21} & B_{31} \\
B_{12} & B_{22} & B_{32} \\
B_{13} & B_{23} & B_{33}
\end{matrix} \right]
$$
从而得到书上的方向余弦变换矩阵。