异想天开

What's the true meaning of light, Could you tell me why

交流电相量分析

日期:2017-09-02 18:03:04
  
最后更新日期:2017-10-22 21:58:01
相量分析法,以前看过维基百科,提到过这种分析方法,直到看了《电路》,一切才茅塞顿开,于是记下来,主要目的是为了给有一定数学基础,非电子专业的人学习相量的时候抛砖引玉。
数学上,最完美的事情莫过于用一个简洁的式子统一,而不是分情况讨论。学习直流电的时候,一般元件为电阻。用欧姆定律就可以方便求出在给定电压下,通过该电阻的电流。而对于交流电,这种电阻元件则为电容和电感了。统一来讲,可以定义一个阻抗概念,实部表示电阻的阻抗,虚部表示电容和电感的阻抗。

比如用一个交流电源来串联电容:
$$
q = CU \\
I =\frac {dq} {dt} =\frac {CdU} {dt} \\
$$
若 $$ U = cos( \omega t + \theta), 则I = \omega C cos(\omega t + \theta + \pi/2) $$ 上诉式子频率没有变化,仅振幅和相位不同。把欧拉定律的左边定义为相量,用欧拉定律展开式表示:
$$
e^{j\theta} = cos( \theta ) + jsin( \theta )
$$
若定义Re操作为取复数的中的实数部分,则:
$$
Re( e^{j\theta_1} * e^{j\theta_2} ) = Re( e^{j ( \theta_1 + \theta_2 )} )
$$
这表示了一条很好的性质,说明可以用e的复数指数形式来代替正弦量的运算,更普通一点,可以用复数域的加减运算来代替时域的形式乘除运算。正因为如此,把e的复数指数形式定义为相量,对于同频率的信号而言,正弦量可以为相量的实数域,那么利用相量运算时:
$$
\frac { e^{j \theta } } { \omega C e^{j (\theta + \pi / 2) } } = \frac { e^{-\pi / 2} } {\omega C} = \frac {-j} {\omega C}
$$
上式得到的,在相同条件下,这个值是个定值,也即电容阻抗。可以快速得到电压会滞后电流pi/2。这个可以理解记忆,电容是对电压起阻抗作用,故电压滞后电流90度。(电容两端的电压是不能突变的)
若直接用交流电源来串联电感,则产生的感应电动势:
$$
U = \frac {LdI} {dt}
$$
而电源的电动势应该等于感应电动势,根据基尔霍夫电压定理 为 $$ U = cos( \omega t + \theta) $$,则
$$
I = \frac { cos(\omega t + \theta - pi/2 ) } {\omega L}
$$
那么用相量表示为:
$$
\frac { \omega L e^{\theta} } { e^{\theta - \pi / 2 } } = \omega L j
$$

用相量表示时, 当频率趋于0时,则电容的阻抗无穷大, 电感的阻抗为0。对于电感而言,电感是对电流起阻抗作用,故电流滞后电压90度