异想天开

What's the true meaning of light, Could you tell me why

zero moment point for stable bipped walking论文阅读笔记2

日期:2018-01-06 20:59:31
  
最后更新日期:2018-01-08 11:10:32
根据上篇博文的结论,ZMP计算需要用到MA。那么如果求机器人对足底的力矩MA?

这里的阐述是针对该篇论文的解释,主要目的是为了弄清楚具体的参数是什么意思,该传递什么值的进去?
假设机器人有n个关节,每个关节的质点相对世界坐标系位置为pi。
那么机器人总线动量直接对位置取导数,角动量需要考虑平动和转动的:
$$
线动量P = \sum_{i=1}^n m_i p_i \\
角动量H = \sum_{i=1}^n { p_i \times m_i \dot {p_i} + I_i \omega _i }
$$
我们对角动量取导数即为力矩,那么:
$$
\dot H = \sum_{i=1}^n { \dot p_i \times m_i \dot p_i + p_i \times m_i \ddot p_i + I_i \dot {\omega _i} + \dot I_i \omega _i }
$$

上诉量都是相对世界坐标系的基底坐标系,若惯性张量相对质心坐标系,R表示到基底坐标系的变换:
$$
I_i = R_i I_i^* R_i^T
$$
对转动惯量的导数即为:
$$
\begin{align*}
\dot {I_i} = & (R_i I_i^* R_i^T)' \\
= & \dot R_i I_i^* R_i^T + R_i I_i^* (R_i^T)' \\
& \dot R_i = \tilde \omega_o R_i = R_i \tilde \omega_b 得 \\
= & \left [ \tilde \omega_i I_i + R_i I_i^* (\tilde \omega_i R_i)^T
\right ] \\
= & \left [ \tilde \omega_i I_i + R_i I_i^* ( R_i^T \tilde \omega_i^T ) \right ] \\
= & \left [ \tilde \omega_i I_i - R_i I_i^* ( R_i^T \tilde \omega_i ) \right ] \\
&故: \\
& \dot I_i \omega_i = \omega_i \times (I_i \omega_i)
\end{align*}
$$
故:
$$
\begin{align*}
& I_i \dot \omega_i + \omega_i \times (I_i \omega_i) \\
= & R_i {I_i^*} R_i^T R_i \dot {\omega_i^*} + (R_i {\omega_i^* }) \times (R_i {I_i^*} R_i^T R {\omega_i^*}) \\
= & R_i I_i^* \dot \omega_i^* + R_i [ \omega_i^* \times (I_i^* \omega_i^*)] \\
& 上诉的证明也就是欧拉定理的证明,这里由于 \omega_i是轴的方向正好是质心坐标系的z方向,所以这里后部分的叉积等于0 \\
= & I_i^* \dot \omega_i
\end{align*}
$$

从而计算ZMP公式为:
$$
\begin{align*}
x_{zmp} = \frac { \sum_{i=1}^n {m_i(p_{ix} (\ddot p_{iz} + g_z) ) - p_{iz}(\ddot p_{ix} + g_x) ) - I_{iy} \dot \omega_{iy}} } { \sum_{i=1}^n { m_i (\ddot p_{iz} + g_z)}} \\
y_{zmp} = \frac { \sum_{i=1}^n {m_i(p_{iy} (\ddot p_{iz} + g_z) ) - p_{iz}(\ddot p_{iy} + g_y) ) - I_{ix} \dot \omega_{ix}} } { \sum_{i=1}^n { m_i (\ddot p_{iz} + g_z)}}
\end{align*}
$$