异想天开

What's the true meaning of light, Could you tell me why

The Fourier Transform and its Applications 1-5集笔记

日期:2018-04-05 22:27:08
  
最后更新日期:2018-04-07 17:49:41
下午2点多,连续看网易-斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用,也只能看五集。业余的时间很宝贵,学习这个对我的收益是比较大,可以完备体系知识结构,为DIY打下基础,所以咬牙也需要看。这个视频是一个成体系的课程,相对网上断章取义的分析文章,质量高了一个档次。视频中教授风趣幽默时不时妙语连珠的授课方式,同时穿插背景,对理解很有帮助。

整体是根据一个大的框架的脉络,进行演绎授课的。ok,检验知识的方法就是看在不抄书的情况下,写下个人理解。若有理解不对的地方,望指正。

傅里叶发明傅里叶变换的背景是在给定圆环初始分布的温度,圆环上任意一点随着时间关系。这里就是周期性,空间上的周期性。

周期性的函数,可以展开成不同频率的三角函数的求和。这个结论是比较大胆,单单周期性函数泛指是很有风险的。

可以对正弦函数展开,即正弦函数可以表示为余弦函数+正弦函数

再通过一个变形

代入,可以用一种更美观的复数的指数形式表达。

c_{n}与c_{-n}为共轭复数,共轭的意思就是a+bi与a-bi。这里自己拿着笔演算,加一点点想象可以得到。

ok,现在已经有f(t)的关于复数指数形式的级数表达。那么如何求c_{n}呢?
将要求的c_{k}移到左边:

授课的教授,关于这里一处精彩的地方。当数学家在寻求解决问题时,其实也是试探着前进,比如假定一个猜想,假定用这种方法行得通,行不通则回来换另外一条路。
我们知道常见的高级代数方法就是微分和积分,何不拿着来试一下呢?幸运这里积分是可以奏效的。

从而求得傅里叶级数系数为:

我们得到了有限项的傅里叶级数,关于傅里叶级数的系数, 有点类似向量的点积,扩展一下,这即为函数的点积,那么傅里叶级数系数其实就是周期函数在频谱上的投影。还可以做出傅里叶级数系数的模的图,类似于在频率分析该周期变化。



链接:
http://open.163.com/movie/2008/2/T/Q/M7Q4BLENR_M7QBQUOTQ.html