异想天开

What's the true meaning of light, Could you tell me why

三角形重心及垂心

日期:2014-01-26 13:00:34
  
最后更新日期:2016-11-06 16:33:29
论述:
1.为什么三角形ABC三条中线交于一点?
2.三条高线交于一点O

正文:
这几个基本常识看似简单,直观简洁论证却不那么简单。
1.为什么三角形ABC三条中线交于一点?
题目变换,两条中线CD,BE交于一点O,连接AO交于BC延长线于一点F'。如图:
Image1

证:
作辅助线,过点B作平行CD的交AO延长线于一点G,连接CG。 故点O为AG中点,又E为AC中点,故OE//GC。则四边形BGCO为平行四边形。则F'为BC中点。
备注:
比如通过cosx.me/p/1017.html中用质量的方法得到重心的位置,而中线过重心,从而论证了三条中线是交于一点的。

2.三条高线交于一点O
题目变换,两条高线CD,BE,交于一点O,连接顶点A与交点O,延长交于BC一点F'。证AF'垂直BC
Image11
证:
B,C,E,D四点共圆,则角BCD=角BED。D,O,E,A四点共圆,则角DOA=角DEA。从而角AEB=角DEA+角BED=90度。从而角AFC=90度。