异想天开

What's the true meaning of light, Could you tell me why

圆锥的体积

日期:2014-02-10 14:29:50
  
最后更新日期:2016-12-03 08:37:14
圆锥体积为什么是圆台体积的1/3倍? 同样,三棱锥也是三棱柱体积的1/3倍。
圆锥体积和三棱锥体积的相似之处不是巧合。圆锥可以看成是一个直角三角形绕中心轴选择360度而成,该三角形每绕轴theta角度时,构成了一个三棱锥。这些三棱锥全部加起来就构成了圆锥的体积。

1.python 数值方法模拟求圆锥体积
还是切入正题。 圆锥可以看成是无数个半径线性变小的圆饼叠加起来的,求圆锥的体积也可以按这种思路。假设你会python,那么这种思路可以表示为如下:
[code lanage="cpp"]
#!/bin/python

H_S = 100.0
R_S = 3.0

n = 100000
h = H_S / n
PI = 3.14159
total = PI * R_S * R_S * h
R = R_S
for j in range(1,n):
i = n - j
r = ( float(i)/(i+1) ) * R
R = r
total += PI * r * r * h

print total
print (1/3.0) * PI * R_S * R_S * H_S
[/code]
在我的电脑上面执行结果如下:
942.491137202
942.477
可以看出,当把圆锥看成是10w个圆饼时,圆饼的体积之和已经非常接近公式算出来的。这里使用python的目的,在于当有了一个猜想时,可以立马用电脑算出这种想法是否靠谱。而这种形式化证明也并不复杂。

2. 数学论证
圆锥的底面半径为R,高度为h。 假设划分为N份,N为一个确定的数。
第N份的半径为R,那么第N-1份半径为 (N-1)*R/N
第N-1份半径为(N-1)*R/N,那么第N-2份半径为 (N-2) * ( (N-1)*R/N ) / ( N - 1 ) = (N-2) * R/N
....
得到全部的半径后,把这些圆柱求和。
PI * (h/N) * R^2 * ( 1^2 + 2^2 ... + (N-1)^2 ) = PI*R^2*h/3

这里有一个问题需要说明的是,每次看成圆饼时,会丢一部分。丢掉的这部分其实是计算部分的高阶无穷小, 故可以丢掉。 这样来理解。 把丢掉的这部分放大, 丢掉的部分肯定要小于以下底为底面积的圆台减去下底为底面积的圆台。即PI*h*(R^2 - R'^2) 为高阶无穷小了,故得证。